誠端は、1836年に讃岐国の名門である関根家に生まれました。幼い頃から学問を好み、特に漢学に秀でていました。1855年に江戸に出府し、高野長英や佐久間象山らと交流を深めました。この頃、尊王攘夷思想に傾倒し、幕府の腐敗を批判するようになります。
1862年、誠端は帰郷し、尊王派の組織である「操觚堂」を設立しました。この組織は、讃岐国における尊王攘夷運動の中心的役割を果たし、多くの人材を輩出しました。1864年には、京都に上り、島津久光らと盟約を結びました。翌年、薩摩藩とともに第二次長州征討に出兵しますが、敗北を喫します。
戦後、誠端は讃岐に戻り、尊王攘夷運動を続けました。しかし、1868年の戊辰戦争で幕府が倒れると、誠端は姿を消しました。その後、故郷の讃岐に戻り、農業に従事してひっそりと生涯を終えました。
誠端は、幕末の動乱の中で、尊王攘夷運動の中心人物として活躍した志士でした。彼の思想と行動は、後の明治維新に大きな影響を与えました。